Loading...

সীমাকে ছাপিয়ে

Support Us or Donate Some Love for Us



ছোটবেলায় আমি যখন দুষ্টুমি করতাম, আমার মা বলতেন,  সবকিছুর একটা “সীমা” আছে।জি, সবকিছুরই সীমা আছে বইকি।  কিন্তু মানুষের কাজই তো সেই সীমাকে অতিক্রম করা। যেমন ধর, আমার তোমার দুষ্টুমিষ্টি দিনগুলো। অর্থাৎ সীমার ব্যতিক্রম.. না না অতিক্রম– অঅঅঅঅঅঅসীম।

গনিতে এই অসীমের কথা বলতে গেলেই আমার মনে পড়ে যায় একটি অতিপরিচিত রাশি ১/০!। কী আশ্চর্য!! দুষ্টামির সীমা থাকে থাকুক না! আবার গনিতে কেন? আচ্ছা,  যদি প্রশ্ন করি বলতো, সবচেয়ে বড় সং্খ্যা কত? ১কোটি? না ১০০০০০০০০^৯৯৯৯৯৯৯৯৯৯?  না! এর থেকেও বড়। কত বড়? যত বড় তারথেকেও বড়! গনিতবিদরা এই সং্খ্যাকে নির্দিষ্ট করতেই পারলেন না! বলে দিলেন এটি এমওওওন সং্খ্যা যার “সীমা”নাই!!!!!!!

আবার সেই অসীম।হ্যাঁ,  এটিই অসীম।

এবার সবাই একটু খাতা কলম বের কর। গ্রাফ পেপার থাকলে তো কথায়ায়ায়ায়াই নেই। কারণ,  এবার আমরা কিছু আঁকতে চাচ্ছি।।

ধর,  একটি ফাংশন

f(x) = \frac{1}{x}

তো…. শুরু করে দাও।

x এর মান 1,2,3…..

কি? কিছু দেখলে? 

এবার 0<x<1 এই ব্যবধির মাঝে x এর জন্য  f(x) নির্ণয় কর।

x= 0.1 ————f(x)=10

x=.01————–f(x)=100

x=10^-10——–f(x)=10^10

হ্যাঁ, কিছু একটা ঘটছে।  আমরা x এর মান যত কমাচ্ছি (<1) ততোই f(x) বৃদ্ধি পাচ্ছে।

কত বাড়ছে?

x = 10^{-10000000}

হলেও

f(x) = 10^{10000000}

মানে! আমরা যতই ছোট্ট নেই না কেন,  \(y\) বেড়েই যাচ্ছে। যেন কোনো “সীমাই” নেই!

ব্যাপারটা কি হলো!  আবার সেই অসীম!!

এই কারণ এ তোমরা বিভিন্ন সময় দেখে থাকবে,

\frac{1}{0} = \infin

এবার তোমাদের জন্য কিছু কাজ

*উপরের ফাংশন এ x নেগেটিভ ধরে একই ঘটনা ঘটাও। 

*গোলীয় দর্পনে প্রতিবিম্ব(v),  ফোকাল লেন্থ(f) আর মূল অবস্থানের(u) সম্পর্ককে প্রকাশ করা যায়,

\frac{1}{u} + \frac{1}{v} = \frac{1}{f}

সমতল আয়নার ক্ষেত্রে এটি কি সঠিক?

   ( পর্ব #২)

গত পর্বে ১/০ এর রহস্য উন্মোচন করেছিলাম আমরা। মূলত,  যেকোনো সং্খ্যাকে শুন্য দিয়ে ভাগ করলে একই ঘটনা!  তবে এই সং্খ্যার তালিকা থেকে ০ সং্খ্যাটি একটু বিদ্রোহ ঘোষণা করল। সে বলল, আমি সবার সাথে থাকব নাকি? আমার একটা সম্মান আছে….বিশেষ সম্মান। ভ্রুকুচিত দৃষ্টে তালিকার সরদার ১ বলল, কি শুনি? মুক্তির মহানন্দে সুবাসিত ০ বলল, বের কর তোমার আরেক সদস্যকে যার সাথে বাকি সবার গুনফল একই।

১ তো নির্বাক!!!

০ এবার সত্যিই এ তালিকা থেকে বের হয়ে গেলো। দৃপ্ত পদচারণায় বিজয়কেতন উড়িয়ে যাবার সময় বলে গেল,  আমাকে, আমাকে দিয়ে ভাগ করলে কি হবে তা যদি বলতে পারো,  তবে আমি আবারো ফিরে  আসব।

০/০!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

১২,১৭,৯,৫৬৭,-৭৬,২/৩ বলল, আমাদের সাথে ০ গুণ করলে তো ০ই পাওয়া যায়। তাহলে,  ভাগের নিয়মানুযায়ী আমরাই পারি ০ কে ফেরত আনতে। তখন বাকিরা চিৎকার দিয়ে উঠল। বলল, তাহলে আমরা কি ঘাস খাব? ওওওও, সবার জন্যই ইহা সঠিক।

এখন,  ১ বলল, কোনো সং্খ্যাকে তাকে দিয়ে ভাগ করা মানে তো আমাকেই ডাকা!

কিন্তু,  বাকিরা এবারো তাদের সরদারকে একই যুক্তি দিল। আবার, (৯৯৯৯৯৯৯৯৯৯৯৯৯৯৯৯৯৯৯^৯৯৯)^৯৯ বলল, ০দিয়ে ভাগ মানে আমার বড় ভাই –অসীম…..কি এক সমস্যা। সবাই সঠিক!!

এবার সরদার ১ বাধ্য হয়ে গণিতবিদদের সাহায্য নিলো,  বলল, হুজুর আমাদের নিয়ে আপনাদের এতো চিন্তা.. এই সমস্যার সমাধান কী?

অনেক কল্পনার অবসান ঘটিয়ে 🤔তারা বলল,  ০/০ কে আমরা নির্ণয় করতেই পারবো না…..অনির্ণেয়!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

০ শুন্যে ভাসিয়ে বেরালো। আহা কীইই আনন্দ আাাাাকাশে বাতাশে…

এবার চলো, একটি ফাংশন কল্পনা করো।

f(x) = \frac{x^2-10^2}{x-10}

খুব ইচ্ছা করছে ফাংশন টাকে ছোট করে আনতে? a^2-b^2   এর ফরমূলা দিলে তো ফাংশনটি,

f(x) = \frac{(x+10)(x-10)}{(x-10)}

এখন তো চাইলেই  x-10 কাটাকাটি করে উধাও করে দিতে পারতে….

না!!!!!!!!

পারবে না!!!!!!!!না না না।

কারণ,  এখানে x=10 হলে কি হবে?

সেই, 0÷0!

এবার আরেকটু কাজ করো। x এর বিভিন্ন মানের জন্য  f(x) বের করো। বিশেষ করে

9<x<10 , 10<x<11(১)

এই দুই ব্যাবধির প্রাধান্য দাও।

কিছু দেখতে পাচ্ছো?? 

তৃতীয় পর্বে এ নিয়ে কথা হবে। তার আগে এ পর্বের কাজ:

(১) এর কাজ সম্পন্ন করো।

 এবং ০ কে ১/০ দিয়ে গুণ করলে কি হবে? কল্পনা করতে পারো??(১ম পর্বের সাহায্য নিতে পারবে)

(পর্ব#৩)

পর্ব ৩ সাজানো হয়েছে পর্ব#২ এর অসমাপ্ত কিছু গল্প নিয়ে।

হ্যাঁ,  আশা করি, (১) সম্পন্ন করেছ। কি লক্ষ্য করলে? 

ফাংশনটি আবারো লেখা যাক।

f(x)= (x²-10²)/(x-10)

গত পর্বে বলেছিলাম,  চাইলেই কিন্তু তুমি এই সমীকরণকে কাটাকাটি করে, x+10 বানাতে পারবে না। কারণ যদি x=10 হয়!!

তাহলে তো সেই ০/০। কী যে হচ্ছে!!!  মানেই তো গণিতবিদদের  মতে অনির্ণেয়!!

এবার চলো, একটা কাজ করা যাক। আমরা x এর মান ১০ নয় কিন্তু,  ১০ এর কাছাকাছি সং্খ্যা নিয়ে কল্পনা করি। 

x=9.                             f(x)=19

x=9.99.                       f(x)= 19.99

x=9.9999999.            f(x)=19.9999999

আবার,

x=11.                          f(x)=21

x=11.01                      f(x)=21.01

x=11.000001.           f(x)=21.000001

এখন দেখ, আমরা যতই ১০ এর কাছাকাছি যাচ্ছি, ততোই f(x) যেনো ২০ এর কাছে যাচ্ছে। মানে?  ০/০ যেনো কিছু একটা হতে চাচ্ছে। কত সেটা…২০।

হ্যাঁ,

কিন্তু,  ০/০ এর তো কোনো মান হবার কথা  না,

সেখান থেকেই ক্যাল্কুলাসে লিমিটের শুরু!

ক্যাল্কুলাস!!!!!!! না!!!  ক্যাল্কুলাস অনেক কঠিন!!  তাই মনে হয়? না! খুব সহজ একটি বিষয়।  শুধু আমরাই কঠিন করে ভাবি। সেই ব্যর্থতা কার তা জানিনা।আসলে গনিতের প্রতিটি বিষয়ই অনেক মজার, যেটা উপলব্ধি করাটা সবসময়ই সম্ভব হয় না। যাই হোক, ফিরে আসি। মনে করোনা যে, এখন আমরা ক্যাল্কুলাসে প্রবেশ করবো। শুধু ধারের কাছে যাবো।

এই ধরনের ঘটনায় আমরা লিমিটের সাহায্য নেই। মানে x=10 ঠিক ধরবো না।  তবে এমন কিছু ভাববো,  যা ১০ এর অনেক কাছে। কারণ,  ১০ হলে বিষয়টি অনির্ণেয়!!

বলতে পারি x \to 10 

তাহলে f(x) হবে এমন এক সং্খ্যা যা ২০ নয় কিন্তু এতোটা এবং এতোটাই কাছে যে, তাকে ২০ বললে,  ভুল হবার কথা নয়।

x= 10 বিন্দুতে f(x) এর মানকে লিখা যায়,

\lim_{x \to 10} \frac{x^2-10^2}{x-10} = 20

এরকম রাশি অনেক যায়গাতে দেখেছো না? হুম, এটি সেই লিমিট। বাংলায় সীমা!!!!!!। না, সিনেমার নায়িকা সীমা নয়।

আমরা যদি গ্রাফ আঁকতে চাই?

কেমন হতে পারে? জি, এটি আপাতদৃষ্টিতে সরলরেখা ( y=x+10)।  কিন্তু,……….

কি হবে? যখন x= 10??

গ্রাফটি প্রথম ছবিতে সংযুক্ত করা হলো।

x=10 এর কাছাকাছি গ্রাফ জুম করে ক্রমান্বয়ে পরবর্তী ছবিগুলোতে দেখানো হলো।

কিছু প্রশ্ন হয়?

আচ্ছা x=10 বিন্দুর অনেক কাছে দেখো,  কি একটা ঘটনা ঘটেছে…গ্রাফটি হঠাৎ অনেক উপর- নিচ করছে……  অনেকটা প্রথম পর্ব তে অংকিত ১/০ এর গ্রাফে ০ এর কাছাকাছি চিত্রের মতো। কোনো মিল পাচ্ছো?  মিল থাকলেও কারণটা কী?এই চিন্তা তোমাদের উপর ছেড়ে দিলাম। আবিষ্কার করতে থাকো রহস্যের মায়াজাল।

“সীমাকে ছাপিয়ে” এর ৩য় পর্ব এখানেই সমাপ্ত।।

জয়তু গনিত।